يقدم هذا الدرس برهاناً كاملاً لمشتقة الدالة الأسية \( a^x \)، حيث \( a > 0 \) و \( a \neq 1 \). كما نقوم اشتقاق صيغة الدالة الأسية المركبة \( a^{u(x)} \) باستخدام قاعدة السلسلة وتوفير أمثلة محلولة.
برهان مشتقة \( a^x \)
لنفرض أن:
\[ y = a^x, \qquad a > 0, \; a \neq 1 \]
خذ اللوغاريتم الطبيعي للطرفين:
\[ \ln y = \ln(a^x) \]
باستخدام خواص اللوغاريتمات \( \ln(a^x) = x \ln a \)، نحصل على:
\[ \ln y = x \ln a \]
اشتق الطرفين بالنسبة إلى \( x \):
\[ \frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{d}{dx}(x \ln a) \]
طبق قاعدة السلسلة على الطرف الأيسر:
\[ \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln a \]
اضرب الطرفين في \( y \):
\[ \frac{dy}{dx} = y \ln a \]
عوض بـ \( y = a^x \):
الصيغة:
\[ \frac{d}{dx}\left(a^x\right) = (\ln a)\,a^x \]
مشتقة الدالة المركبة \( y = a^{u(x)} \)
لتكن \( u = u(x) \). حسب قاعدة السلسلة:
\[ \frac{d}{dx}\left(a^{u(x)}\right) = \frac{d(a^u)}{du} \frac{du}{dx} \]
باستخدام النتيجة السابقة:
\[ \frac{d(a^u)}{du} = (\ln a)a^u \]
لذلك:
صيغة قاعدة السلسلة:
\[ \frac{d}{dx}\left(a^{u(x)}\right) = (\ln a)\,a^{u(x)}\,\frac{du}{dx} \]
أمثلة مع الحلول
أمثلة محلولة: اشتقاق الدوال الأسية المركبة
أوجد مشتقات الدوال التالية:
- \( f(x) = 2^{-x^4+5x-4} \)
- \( g(x) = 3^{\sqrt{x^4+2x}} \)
- \( h(x) = 5^{\frac{2x}{3x+2}} \)
الحلول:
-
لتكن \( u(x) = -x^4 + 5x - 4 \). إذن \( \frac{du}{dx} = -4x^3 + 5 \).
بتطبيق الصيغة:\[ f'(x) = (\ln 2)\,2^{-x^4+5x-4}(-4x^3+5) \] -
لتكن \( u(x) = \sqrt{x^4+2x} \). إذن \( \frac{du}{dx} = \frac{4x^3+2}{2\sqrt{x^4+2x}} = \frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \).
بتطبيق الصيغة:\[ g'(x) = (\ln 3)\,3^{\sqrt{x^4+2x}}\frac{2x^3+1}{\sqrt{x^4+2x}} \] -
لتكن \( u(x) = \frac{2x}{3x+2} \). باستخدام قاعدة القسمة:
\[ \frac{du}{dx} = \frac{2(3x+2) - 2x(3)}{(3x+2)^2} = \frac{6x+4-6x}{(3x+2)^2} = \frac{4}{(3x+2)^2} \]بتطبيق الصيغة:\[ h'(x) = (\ln 5)\,5^{\frac{2x}{3x+2}}\frac{4}{(3x+2)^2} \]